Oblasť lichobežníka: vzorce a metódy výpočtu

Obsah:

Oblasť lichobežníka: vzorce a metódy výpočtu
Oblasť lichobežníka: vzorce a metódy výpočtu
Anonim

Na to, aby ste sa cítili sebaisto a úspešne riešili problémy na hodinách geometrie, nestačí naučiť sa vzorce. Najprv ich treba pochopiť. Báť sa a ešte viac nenávidieť vzorce je neproduktívne. V tomto článku budú rôzne spôsoby nájdenia oblasti lichobežníka analyzované v dostupnom jazyku. Pre lepšiu asimiláciu zodpovedajúcich pravidiel a teorém budeme venovať určitú pozornosť jeho vlastnostiam. To vám pomôže pochopiť, ako pravidlá fungujú a v akých prípadoch by sa mali použiť určité vzorce.

Definujte lichobežník

lichobežníková oblasť
lichobežníková oblasť

Aký je tento údaj vo všeobecnosti? Lichobežník je mnohouholník so štyrmi uhlami a dvoma rovnobežnými stranami. Ďalšie dve strany lichobežníka môžu byť naklonené v rôznych uhloch. Jeho rovnobežné strany sa nazývajú základne a pre nerovnobežné strany sa používa názov „boky“alebo „boky“. Takéto postavy sú v každodennom živote celkom bežné. Obrysy lichobežníka možno vidieť v siluetách oblečenia, interiérových predmetov, nábytku, riadu a mnohých ďalších. Lichobežník môže byť rôznych typov: všestranný, rovnoramenný a obdĺžnikový. Ich typy a vlastnosti podrobnejšie rozoberieme neskôr v článku.

Vlastnosti lichobežníka

aká je plocha lichobežníka
aká je plocha lichobežníka

Postavme sa krátko pri vlastnostiach tohto obrázku. Súčet uhlov susediacich s ktoroukoľvek stranou je vždy 180°. Treba poznamenať, že súčet všetkých uhlov lichobežníka je 360°. Lichobežník má koncepciu stredovej čiary. Ak spojíte stredy strán segmentom, bude to stredná čiara. Označuje sa m. Stredová čiara má dôležité vlastnosti: je vždy rovnobežná so základňami (pamätáme, že základne sú tiež navzájom rovnobežné) a rovná sa ich polovičnému súčtu:

m=(a+b)/2.

Túto definíciu si treba osvojiť a pochopiť, pretože je kľúčom k riešeniu mnohých problémov!

Pri lichobežníku môžete vždy znížiť výšku k základni. Nadmorská výška je kolmica, často označovaná symbolom h, ktorá je vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k inej základni alebo jej predĺženiu. Stredová čiara a výška vám pomôžu nájsť oblasť lichobežníka. Takéto úlohy sú v školskom kurze geometrie najčastejšie a pravidelne sa objavujú medzi kontrolnými a skúšobnými prácami.

Najjednoduchšie vzorce pre oblasť lichobežníka

lichobežníková oblasť
lichobežníková oblasť

Poďme analyzovať dva najobľúbenejšie a najjednoduchšie vzorce, ktoré pomáhajú nájsť oblasť lichobežníka. Stačí vynásobiť výšku polovicou súčtu základov, aby ste ľahko našli to, čo hľadáte:

S=h(a + b)/2.

V tomto vzorci a, b označujú základne lichobežníka, h - výšku. Na uľahčenie čítania sú v tomto článku znaky násobenia vo vzorcoch označené symbolom (), hoci v oficiálnych príručkách sa znamienko násobenia zvyčajne vynecháva.

Uvažujme o príklade.

Uvedené: Lichobežník s dvoma základňami 10 cm a 14 cm a výškou 7 cm. Aká je plocha lichobežníka?

Poďme analyzovať riešenie tohto problému. Pomocou tohto vzorca musíte najskôr nájsť polovičný súčet základov: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Polovičný súčet je teda 12 cm. Teraz polovičný súčet vynásobíme výškou: 127 \u003d 84. Požadované je nájdené. Odpoveď: Plocha lichobežníka je 84 metrov štvorcových. pozri

Druhý známy vzorec hovorí: plocha lichobežníka sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky lichobežníka. To znamená, že to vlastne vyplýva z predchádzajúceho konceptu strednej čiary: S=mh.

lichobežníková oblasť
lichobežníková oblasť

Používanie uhlopriečok na výpočty

Ďalší spôsob, ako nájsť oblasť lichobežníka, v skutočnosti nie je taký ťažký. Je spojená svojimi uhlopriečkami. Podľa tohto vzorca, ak chcete nájsť oblasť, musíte vynásobiť polovičný súčin jej uhlopriečok (d1 d2) sínusom uhol medzi nimi:

S=½ d1 d2 sin a.

Pozrime sa na problém, ktorý ukazuje použitie tejto metódy. Dané: lichobežník s dĺžkou uhlopriečky 8 a 13 cm, uhol a medzi uhlopriečkami je 30°. Nájdite oblasť lichobežníka.

Rozhodnutie. Pomocou vyššie uvedeného vzorca je ľahké vypočítať, čo je potrebné. Ako viete, hriech 30° je 0,5. Preto S=8130,5=52. Odpoveď: Rozloha je 52 metrov štvorcových. pozri

Hľadá sa oblasť rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník môže byť rovnoramenný (rovnoramenný). Jeho strany sú rovnaké A uhly na základniach sú rovnaké, čo je dobre znázornené na obrázku. Rovnoramenný lichobežník má rovnaké vlastnosti ako bežný lichobežník, plus množstvo špeciálnych. Kruh môže byť opísaný okolo rovnoramenného lichobežníka a môže byť do neho vpísaný kruh.

nájdite oblasť lichobežníka
nájdite oblasť lichobežníka

Aké sú metódy na výpočet plochy takejto postavy? Nižšie uvedená metóda bude vyžadovať veľa výpočtov. Ak ho chcete použiť, musíte poznať hodnoty sínusu (sin) a kosínusu (cos) uhla na základni lichobežníka. Ich výpočty vyžadujú buď Bradisove tabuľky alebo inžiniersku kalkulačku. Tu je vzorec:

S=c sin a (a – c cos a), kde c je bočné stehno, a je uhol v spodnej časti.

Rovnostranný lichobežník má uhlopriečky rovnakej dĺžky. Platí to aj naopak: ak sú uhlopriečky lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný. Preto nasledujúci vzorec, ktorý pomáha nájsť plochu lichobežníka - polovičný súčin štvorca uhlopriečok a sínus uhla medzi nimi: S=½ d2hriech a.

Nájdite oblasť pravouhlého lichobežníka

lichobežníková oblasť
lichobežníková oblasť

Existuje špeciálny prípad pravouhlého lichobežníka. Toto je lichobežník, v ktorom jedna strana (jej stehno) prilieha k základniam v pravom uhle. Má vlastnosti obyčajného lichobežníka. Okrem toho má veľmi zaujímavú vlastnosť. Rozdiel štvorcov uhlopriečok takéhoto lichobežníka sa rovná rozdielu štvorcov jeho základov. Na to sa používajú všetky predtým uvedené metódy na výpočet plochy.

Použite svoju vynaliezavosť

Je tu jeden trik, ktorý môže pomôcť v prípade zabudnutia konkrétnych vzorcov. Pozrime sa bližšie na to, čo je lichobežník. Ak to mentálne rozdelíme na časti, získame známe a zrozumiteľné geometrické tvary: štvorec alebo obdĺžnik a trojuholník (jeden alebo dva). Ak poznáte výšku a strany lichobežníka, môžete použiť vzorce pre oblasť trojuholníka a obdĺžnika a potom sčítať všetky získané hodnoty.

Ilustrujme to na nasledujúcom príklade. Daný obdĺžnikový lichobežník. Uhol C=45°, uhly A, D sú 90°. Horná základňa lichobežníka je 20 cm, výška je 16 cm. Je potrebné vypočítať plochu obrázku.

Rozhodnutie

Tento obrázok sa zjavne skladá z obdĺžnika (ak dva uhly majú 90°) a trojuholníka. Keďže je lichobežník pravouhlý, jeho výška sa rovná jeho strane, teda 16 cm, máme obdĺžnik so stranami 20 a 16 cm. Uvažujme teraz trojuholník, ktorého uhol je 45°. Vieme, že jedna z jeho strán má 16 cm, keďže táto strana je zároveň výškou lichobežníka (a vieme, že výška dopadá na základňu v pravom uhle), preto je druhý uhol trojuholníka 90°. Zostávajúci uhol trojuholníka je teda 45°. V dôsledku toho dostaneme pravouhlý rovnoramenný trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké. To znamená, že druhá strana trojuholníka sa rovná výške, teda 16 cm. Zostáva vypočítať plochu trojuholníka a obdĺžnika a pridať výsledné hodnoty.

Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho nôh: S=(1616)/2=128. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho šírka a dĺžka: S=2016=320. Zistili sme požadované: plocha lichobežníka S=128 + 320=448 štvorcových. pozri Môžete sa jednoducho skontrolovať pomocou vyššie uvedených vzorcov, odpoveď bude identická.

Použite vzorec pre vrchol

lichobežníková oblasť
lichobežníková oblasť

Nakoniec je tu ďalší originálny vzorec, ktorý pomáha nájsť oblasť lichobežníka. Nazýva sa to Pick vzorec. Je vhodné ho použiť, keď je lichobežník nakreslený na kockovaný papier. Podobné úlohy sa často nachádzajú v materiáloch GIA. Vyzerá to takto:

S=M/2 + N – 1, v tomto vzorci M je počet uzlov, t.j. priesečníky čiar obrázku s čiarami bunky na hraniciach lichobežníka (oranžové bodky na obrázku), N je počet uzlov vo vnútri obrázku (modré bodky). Najvýhodnejšie je použiť ho pri hľadaní oblasti nepravidelného mnohouholníka. Čím väčší je však arzenál použitých techník, tým menej chýb a lepšie výsledky.

Vyššie uvedené informácie samozrejme zďaleka nevyčerpávajú typy a vlastnosti lichobežníka, ako aj spôsoby, ako nájsť jeho oblasť. Tento článok poskytuje prehľad jeho najdôležitejších charakteristík. Pri riešení geometrických problémov je dôležité konať postupne, začať s jednoduchými vzorcami a problémami, dôsledne upevňovať porozumenie, posunúť sa na ďalšiu úroveň zložitosti.

Najbežnejšie zostavené vzorce pomôžu študentom orientovať sa v rôznych spôsoboch výpočtu plochy lichobežníka a lepšie sa pripraviť na testy a testy na túto tému.

Odporúča: